Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=30^\circ$, $B_1C_1=5$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите радиус данной окружности, если $\angle A=135^\circ$, $B_1C_1=10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=30^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=15^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=4\sqrt{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$, пересекающиеся в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC=120^\circ$.
а) Докажите, что точки $B_1$, $C_1$, $H$ и $O$ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь треугольника $B_1C_1O$, если $BC=3$ и $\angle ABC=15^\circ$.

Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $\angle ABC=40^\circ$, $\angle ACB=85^\circ$.
а) Докажите, что $BM=CN$.
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $7$.

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM=45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB=2\sqrt{7}$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.
б) Найдите длину стороны $AB$, если $AC=2$, $BC=\sqrt{10}$.

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $AE$ и $BD$ параллельны.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$, которая касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3(\sqrt{3}-1)$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$, которая касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=12$.

Дан треугольник $BDC$, в котором $\angle CBD=2\angle BCD$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $BCD$. Около треугольника $BOD$ описана окружность, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $BCD$ и $BKD$ подобны.

б) Найдите $BC$, если $CD=\sqrt{30}$ и $BD=5$.

Дан треугольник $KLM$, в котором $\angle LKM=2\angle KLM$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $KLM$. Около треугольника $KOM$ описана окружность, которая пересекает сторону $LM$ в точке $T$.

а) Докажите, что треугольники $KLM$ и $KTM$ подобны.

б) Найдите $KL$, если $LM=\sqrt{18}$ и $KM=4$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$, угол $ABC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $AM$. В треугольнике $BCM$ проведена высота $MP$. Прямые $MP$ и $CH$ пересекаются в точке $L$. Известно, что $CM$ — биссектриса угла $HCB$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $BLM$, если $AC=12$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CL$, угол $BAC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BL$. В треугольнике $ACL$ проведена высота $LT$. Прямые $LT$ и $CH$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $CL$ — биссектриса угла $HCA$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $AKL$, если $AC=10$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $L$ в точках $C$ и $D$. Отрезок $AD$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle CLD=2\angle ADC$.

б) Найдите расстояние от точки $L$ до прямой $CD$, если $AC=16$, $CD=44$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $P$ в точках $T$ и $Q$. Отрезок $RQ$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle TPQ=2\angle TQR$.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $TQ$, если $TQ=28$, $TR=8$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=2:3$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AL$, пересекает отрезок $BF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $AF$, если $AC=\sqrt{15}$.

В равностороннем треугольнике $BCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=1:4$. Прямая $BL$ пересекает сторону $CD$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BL$, пересекает отрезок $CF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $BF$, если $CD=\sqrt{21}$.

В четырёхугольник $CDEF$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $EF$ в точке $B$, $\angle DEF=90^\circ$, $\angle DCF=\angle BFC=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $B$ лежит на прямой $CO$.

б) Найдите $EF$, если $BC=6\sqrt{3}$.