Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=6$, $r=4$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=5$, $r=3$.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=2:3$, $AP:PB=1:2$.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=4:3$, $AP:PB=3:2$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:4$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:3$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=2\sqrt{3}$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:3$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:2$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=\sqrt{15}$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если $b+c>2a$, то окружность пересекает сторону $BC$ в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка $BC$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=10$, $a=8$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону $BC$, то $b+c<2a$.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции $ABCD$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=6$, $a=10$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AL:AC=AB:BC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=21$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}4$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AB:AL=BC:AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=24$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}6$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=7$ и $AB=CD=20$ вписан в окружность радиусом $R=16$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=14$ и $AB=CD=40$ вписан в окружность радиусом $R=25$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=7$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $2{,}5$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $BC=16$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $7$.

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.
а) Докажите, что $\angle OAC = 45^\circ$.
б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC$.

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$, если $AD=4$ и $AB=5$.