Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

В четырёхугольник $ACDE$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $DE$ в точке $F$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle CAE=\angle AED=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $F$ лежит на прямой $AO$.

б) Найдите $DE$, если $AF=4\sqrt{3}$.

Дан параллелограмм $BCDE$, угол $CBE$ острый. Проведены высоты $CH$ и $CK$, точка $H$ лежит на стороне $BE$, а точка $K$ — на стороне $DE$. На стороне $BE$ отмечена точка $L$. Известно, что $CH=BL$ и $BC=CK$.

а) Докажите, что $CL=HK$.

б) Найдите площадь треугольника $BHK$, если $CH=BL=12$, $BC=CK=13$.

Дан параллелограмм $ABDF$, угол $BAF$ острый. Проведены высоты $BH$ и $BG$, точка $H$ лежит на стороне $AF$, а точка $G$ — на стороне $DF$. На стороне $AF$ отмечена точка $K$. Известно, что $BH=AK$ и $AB=BG$.

а) Докажите, что $BK=HG$.

б) Найдите площадь треугольника $AHG$, если $BH=AK=15$, $AB=BG=17$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $N$ и $M$ равнобедренного прямоугольного треугольника $MCN$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $CN$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $L$. Прямая $CM$ вторично пересекает большую окружность в точке $K$.

а) Докажите, что $ML$ и $NK$ параллельны.

б) Найдите $CN$, если радиусы окружностей равны $6$ и $14$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $CB$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $N$. Прямая $CA$ вторично пересекает большую окружность в точке $M$.

а) Докажите, что $AN$ и $BM$ параллельны.

б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $9$ и $12$.

Точка $L$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На её стороне $AB$ взята точка $F$ так, что прямые $CF$ и $AL$ параллельны. Отрезки $CF$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $CO=OF$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BFC$ составляет $\dfrac{16}{49}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. На её стороне $CD$ взята точка $L$ так, что прямые $DM$ и $BL$ параллельны. Отрезки $CM$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $BO=OL$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BCL$ составляет $\dfrac{25}{64}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=22$, $AB=26$, $CD=28$, а угол $CPD$ — прямой.

Прямая, проходящая через середину $H$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CH$ и пересекает катет $AC$ в точке $L$. При этом $AL:LC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $HL$ и $BC$ пересекаются в точке $T$, а прямые $AT$ и $BL$ — в точке $G$. Найдите $AG$, если $BC=4\sqrt{3}$.

Прямая, проходящая через середину $L$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CL$ и пересекает катет $AC$ в точке $F$. При этом $AF:FC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $FL$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а прямые $AD$ и $BF$ — в точке $K$. Найдите $AK$, если $BC=6\sqrt{3}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите отрезок $B_1C_1$, если $\angle A=60^\circ$, радиус окружности равен $7$, а площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ в три раза больше площади треугольника $AB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите радиус окружности, если $\angle A=60^\circ$, отрезок $B_1C_1=6$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=28$, $AB=32$, $CD=48$, а угол $CPD$ — прямой.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что эта биссектриса равна основанию треугольника.

б) Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно $12$.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что биссектриса делит сторону треугольника в отношении $2:(\sqrt{5}-1)$.

б) Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна $12$.

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10\sqrt{3}$, $BC=8\sqrt{3}$.

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10$, $BC=16$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=2\angle ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC=10$ и $AC=6$.

Дан остроугольный треугольник $MPK$. Известно, что $\angle KMP=2\angle MPK$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $MPK$. Вокруг треугольника $MOP$ описана окружность, которая пересекает сторону $PK$ в точке $T$.

а) Докажите, что углы $KMT$ и $PMT$ равны.

б) Найдите $MP$, если $PK=5$ и $MK=3$.

Сумма оснований трапеции равна $61$, а её диагонали равны $11$ и $60$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Сумма оснований трапеции равна $85$, а её диагонали равны $13$ и $84$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Окружность с центром $O$, расположенном внутри прямоугольной трапеции $ABCD$, проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны $AD$ в точке $K$. При этом отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $T$.

а) Докажите, что угол $KCB$ равен углу $AKB$.

б) Найдите $AB$, если перпендикуляр $KH$ к стороне $BC$ равен $10$, а $DC=25$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $AM:MC=AN:NB$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что прямая $AO$ делит сторону $BC$ пополам.

б) Найдите отношение площади треугольника $NMO$ к площади треугольника $ABC$, если $AM:MC=1:3$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ — последовательные натуральные числа в возрастающем порядке.

а) Докажите, что $AB=9$.

б) Найдите $AH$, если $AK:KH=1:2$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ составляют возрастающую арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что $CH:HD=4:5$.

б) Найдите радиус окружности, если $AK:KH=3:4$ и разность арифметической прогрессии равна $3$.